Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней»




Скачать 125.32 Kb.
НазваниеЗадача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней»
Дата конвертации30.01.2013
Размер125.32 Kb.
ТипЗадача
МИНОБРНАУКИ РОССИИ


Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»


В. Д. Бочкарева


Алгебра в примерах и задачах.

Результант. Дискриминант. Системы двух алгебраических уравнений

с двумя неизвестными и их решение методом исключения


Учебно-методическое пособие


Саранск 2012

Подгруппы, циклические подгруппы. Циклические группы


Подгруппой группы относительно внутренней бинарной операции называется такое непустое подмножество множества , на котором относительно суженной операции выполняются все аксиомы групп:

  1. для любых элементов их композиция ,

  2. операция ассоциативна на ,

  3. относительно операции в существует нейтральный элемент , т. е. такой элемент, что для любого ,

  4. операция на симметризуема, т. е. для любого элемента в существует симметрический элемент , т. е. такой элемент, что .

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы было подгруппой группы : если – непустое подмножество множества относительно операции и для любых и выполняется , то – подгруппа группы .

Задача 57. Определить, является ли подгруппой аддитивной группы вещественных чисел.

Решение. Применим критерий подгруппы. Пусть , ()– элементы множества .

Тогда – элемент, противоположный к . Проверим, как ведет себя сумма : , , , т. е. . Следовательно, – подгруппа аддитивной группы .

Задача 58. Определить будет ли множество положительных вещественных чисел мультипликативной подгруппой аддитивной группы вещественных чисел.

Решение. Ответ отрицательный, так как речь идет о различных операциях.

Пусть дана группа – группа относительно операции . Пусть . Возьмем все целые рациональные степени этого элемента : , , , , , где – нейтральный элемент группы, – элемент симметричный к элементу в группе .

В результате получено множество , которое является относительно подгруппой группы и называется циклической подгруппой, порожденной элементом . Циклическая подгруппа, порожденная элементом обозначается символом .

Если группа , то она называется циклической группой.

Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом 2.

Решение. , , , , , . Дальше, при получении «целых рациональных степеней» имеет повторения. Следовательно, мы получим замкнутое относительно операции сложения множество , причем, , , , , . Согласно критерия подгруппы имеем, что – подгруппа группы , порожденная элементом 2: .

Задача 60. Будет ли мультипликативная группа циклической?

Решение.

Определение. Группа будет циклической, если в ней существует порождающий элемент. В в роли порождающего элемента могут выступать два элемента: и . Выясним, может ли быть порождающим элементом. Составим целые рациональные степени элемента: , , . Ни одна степень элемента не дает элемент , т. е. не является порождающим элементом. Проверим элемент : , , , . Элемент является порождающим для , т. е. – циклическая группа.


Смежные классы. Разложение группы по подгруппе


Пусть – группа, – ее подгруппа, – произвольный элемент группы . Составим множество . Это непустое множество, называется левым смежным классом группы по подгруппе , определяемым элементом . Множество называется правым смежным классом группы по подгруппе , определяемым элементом . В общем случае .

Задача 61. В найти правый и левый смежные классы, определяе-мые элементом , если подгруппа .

Решение.



.

Составим классы

.

.

Заметим, .

Пусть – группа и – ее подгруппа.

Если , то говорят, что группа по подгруппе разложена на один смежный класс.

Если , то в существует элемент и тогда составим класс .

Если , то говорят, что группа по подгруппе разложена на два левых смежных класса .

Если , то имеем разложение группы на три смежных класса по подгруппе и т. д.

Процесс разложения группы по подгруппе на левые смежные классы может быть конечным, может быть бесконечным.

Аналогично можно получить разложение группы по подгруппе на правые смежные классы: .

Правое разложение не обязано совпадать с левым разложением.

В результате мы получаем два множества классов:

и – левое и правое фактор-множества множества по подмножеству . Длина этих множеств называется индексом подгруппы в группе .

Задача 62. Найти фактор-множество множества по подгруппе относительно операции сложения.

Решение. Операция сложения в коммутативная, поэтому левое и правое разложения по будут одинаковые. Разложим на на левые смежные классы.

, например, . Строим . . Имеем разложение по на два смежных класса. Фактор-множество: .

Задача 63. В мультипликативной группе

, , , , , возьмем подгруппу . Найти фактор-множество множества по .

Решение. При левостороннем разложении по имеем:

, , , т. е. левосторонний фактор-множество .

При правостороннем разложении по имеем:

, , , т. е. правостороннее фак-тор-множество , причем , .

Индекс подгруппы в равен 3.

Задача 64. Найти разложение аддитивной группы по подгруппе целых чисел, кратных 3.

Решение. .

, например, . Составим . Следовательно, класс состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1. , напри-мер, , . Составим . Следовательно, класс состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Итак, в находятся все целые числа, которые при делении на 3 дают в остатке 0, в классе – все целые числа, которые делятся на 3 дают в остатке 1, в классе – все числа с остатком 2. Но при делении на 3 возможны только остатки 0, 1, 2. Значит, все целые числа распределились по классам , т. е. разложение на смежные классы по имеет вид: . Так как сложение в коммутативное, то левостороннее разложение совпадает с правосторонним. Индекс подгруппы в равен 3.


Нормальный делитель группы. Фактор-группа


Если в группе относительно подгруппы при любом элементе , т. е. если любой элемент группы перестановочен с подгруппой , то подгруппа называется нормальным делителем группы .

Если операция в группе коммутативна, то любая подгруппа в группе является нормальным делителем. Если при левостороннем и при правостороннем разложении группы по подгруппе смежные классы, на которые распадается группа , получаются одинаковыми, то – нормальный делитель группы . Верно и обратное: если – нормальный делитель в группе , то при левостороннем и при правостороннем разложении группы по подгруппе смежные классы, на которые распадается группа , получаются одинаковыми.

является нормальным делителем группы тогда и только тогда, когда при любом и любом элемент .

Задача 65. Если индекс подгруппы группы равен 2, то – нормальный делитель группы .

Решение. Если подгруппа имеет индекс 2 в группе , то , где и , т. е. . Следовательно, классы смежности левостороннего разложения совпадают с соответствующими классами правостороннего разложения, т. е. – нормальный делитель группы .

Задача 66. Будет ли группа в задаче 63 нормальным делителем в группе ?

Решение. Левостороннее разложение группы по подгруппе состоит из классов , и . Правостороннее разложение состоит из классов , , , но , , т. е. подгруппа не является нормальным делителем группы .

Задача 67. Найти фактор-группу группы по подгруппе всех чисел, кратных 3.

Решение. Так как сложение в коммутативно, то – нормальный делитель. Найдем разложение по : . Фактор-множество состоит из классов . Зададим на операцию сложения:

































Заполнение таблицы Кэли осуществляется по правилу:

.

Например, . Это множество состоит из всех целых чисел , где , т. е. , . Тогда . Итак, мы получили фактор-группу , операция сложения в которой задана вышеука-занной таблицей Кэли.

Задача 68. Найти фактор-группу группы по подгруппе .

Решение. – нормальный делитель, т. к. сложение в коммутативно. Найдем разложение по : . Действительно, изобразим на числовой оси, а элементы отметим на ней точками:

б9.bmp


Построим , где . Если , то , если , то элементы отметим звездочками. Тогда состоит из элементов, отмеченных точками и звездочками. В это множество не попадает элемент, например, . Тогда строим множество , элементы которого обозначим штрихом. Тогда состоит из элементов, обозначенных точками, звездочками и штрихами, но не совпадает с . Очевидно, чтобы совпало с , необходимо, чтобы .

Мы построили фактор-множество . Согласно процедуры факторизации, операция сложения определяется следующим образом: , где , .


Гомоморфизм и изоморфизм групп


Гомоморфизмом группы в группу называется такое отображение множества и в множество , при котором композиция любых двух элементов и относительно операции отображается в композицию образов элементов и относительно операции , т. е. . При гомоморфизме групп: 1) нейтральный элемент группы отображается в нейтральный элемент группы , т. е. . 2) пара симметричных элементов , группы отображаются в пару симметричных элементов , группы .

Множество всех элементов группы , которые при гомоморфизме отображаются в нейтральный элемент группы относительно сужений операции образует подгруппу группы , которая является нормальным делителем группы и называется ядром гомоморфизма .

Задача 69. Определить, является ли отображение гомоморфизмом группы в группу . Если «да», то найти .

Решение. .

При отображении возможны следующие случаи:

1) – чет, – чет; 2) – нечет, – чет; 3) – чет, – нечет; 4) – нечет, – нечет. Проверим, как ведут себя . В первом случае – чет, следовательно . Но , , т. к. и – четные. Тогда . Во втором случае – нечетные, следовательно . Но , и , т. е. . В третьем случае , , , т. е. . В четвертом случае , , , т. е. . В итоге можно сказать, что для любых верно: . Следовательно, – гомоморфизм группы в группу .

Ядром гомоморфизма является множество всех четных чисел, т. е. .

Если при гомоморфизме отображение взаимооднозначно, т. е. , то называется изоморфизмом группы в группу . Если при этом имеется наложение множества на множество , то группы и называются изоморфными.

Задача 70. Изоморфны ли группа и мультипликативная группа кольца ?

Решение. . – множество обратимых элементов из . Взаимооднозначных отображений на несколько. Из них надо выбрать то (если оно существует), которое удовлетворяет определению изоморфного отображения. Для удобства рассуждений построим таблицы Кэли для и :

:










:































Зададим такое отображение , при котором нейтральный эле-мент отобразится в нейтральный элемент (по свойству изоморфиз-ма), т. е. . Тогда остается только одна возможность для отображения . Итак,

.

Проверим, будет ли верно: при .







, т. к. по .

Итак, при , т. е. – изоморфизм. Следова-тельно, группа и мультипликативная группа кольца – изоморф-ны.

Задача 71. Доказать изоморфизм групп и .

Решение. 1 способ. Отображение



взаимооднозначным отображением на . Действительно, влечет , отсюда . Любое целое число вида имеет прообраз, а именно: . При этом отображение , т. к. , , . Следовательно, – изоморфизм и .


ЛИТЕРАТУРА





  1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.

  2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.

  3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. – 160 с.

  4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.

  5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. – 144 с.

  6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.

  7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.

  8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1969. – 276 с.

  9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.

  10. Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.

  11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.

  12. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во МГУ, 1965. – 40 с.

  13. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. – 183 с.

  14. Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. – 302 с.

  15. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. – 332 с.

  16. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.

  17. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. – 228 с.

  18. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1982. – 223 с.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней» iconПриложение Карточка 1
Решение уравнений выделением целых и рациональных корней. Метод неопределенных коэффициентов. Схема Горнера
Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней» iconРешение транспортной задачи разбивается на два этапа
Классическая транспортная задача является одной из типичных задач линейного программирования, она возникает при планировании наиболее...
Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней» iconЗадача Обеспечение предоставления молодым учителям участникам про­граммы субсидии на уплату при получении ипотечного кредита на приобретение (строительство) жилья первоначального вноса в размере 20 расчетной (средней) стоимости жилья,
Цель предоставление государственной поддержки (при решении жилищной проблемы) молодым учителям, признан­ным в установленном порядке...
Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней» iconПредлагаем Вашему вниманию анкету. Её целью является определить Ваши интересы и возможности как дилера колибри
Будьте предельно внимательными и искренними. На основе предоставленных Вами данных будет принято решение о получении/не получении...
Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней» iconОзеро Большой Еланчик
Большой Еланчик озеро не крупное в сравнении, такими гигантами как Увилъды и Тургояк. Его площадь шесть целых шестнадцать сотых квадратных...
Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней» iconЗадача 1
На каждом листе, начиная со второго, оформлять решение только одной задачи. Если задача не решена, оставлять пустой лист
Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней» iconКонспект по развитию речи в подготовительной группе
Дети входят в группу на столе лежат разные предметы (молоток, ножницы, иголка с ниткой, поварешка)
Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней» iconДиплом (аттестат) выдается при наличии следующих документов: 
Нотариально заверенная доверенность при получении диплома (аттестата) доверенным лицом
Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней» iconДиплом (аттестат) выдается при наличии следующих документов
Нотариально заверенная доверенность при получении диплома (аттестата) доверенным лицом
Задача 59. В группе найти циклическую группу, порожденную элементом Решение.,,,,. Дальше, при получении «целых рациональных степеней» iconДиплом (аттестат) выдается при наличии следующих документов: 
Нотариально заверенная доверенность при получении диплома (аттестата) доверенным лицом
Разместите кнопку на своём сайте:
Библиотека


База данных защищена авторским правом ©kk.docdat.com 2013
обратиться к администрации
Библиотека
Главная страница